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Les dés de Baptiste (Dudu)

Aujourd’hui, j’ai présenté à mes 4e ce problème Dudu. Nous sommes en fin d’étude des probas, et ça marchait plutôt bien ; j’avais envie, alors qu’ils étaient en demi-classe, de voir si je pouvais les emmener plus loin. Ca a été un franc succès. Décidément, ces élèves ont le goût de la recherche et de la réflexion.

J’aime bien ce problème : dedans, voili voilou un Dudu que j’ignorais, et qui est vraiment sympa. Mais surtout, on peut aller plus ou moins loin avec cette situation. Voici comment je l’ai mise en oeuvre :

Etape 1 : le visionnage et l’analyse

Je n’ai pas eu le temps de dire ouf ni même de poser mon sempiternel « Alors, de quoi s’agit-il ? » que les élèves me faisaient écrire « on veut faire 17 en faisant la somme de deux dés, avec un D8 et un D10 et avec un D6 et un D12, et on veut savoir qui qu’a plus de chances ou si c’est pareil. »

Bien, on écrit tout ça au tableau et j’en profite pour introduire le mot « équitable », qui sera usuel au lycée. Je précise que pour le D10, le 0 représentera 10. C’est ainsi que je joue le D10 en jeu de rôles et c’est mieux pour mes objectifs.

Pendant que j’y suis, même si les élèves connaissent ces dés parce que nous sommes dans mon dispositif maths et jeux de rôles et que régulièrement ils en lancent pour gagner des XP, je présente sous la visualiseuse un D4, un D6, un D8, un D10, un D12 et un D20. J’explique comment on lit le résultat mais surtout j’évoque les solides de Platon. Nous mettons à part le D10, nous allons plus ou moins loin selon le groupe dans la justification de « 5 solides dePlaton exactement », nous parlons polyèdre régulier.

Etape 2 : des idées ?

Dans les deux groupes, premier réflexe : puisque 8+10 (un D8 et un D10) et 6+12 (un D6 et un D12) sont égaux, le jeu est équitable. Mais quand j’interroge : « vous êtes sûrs ? », j’obtiens d’autres pistes :

  • Peut-être pas, parce que obtenir une face donnée d’un D12 c’est moins probable qu’obtenir une face donnée d’un D6 ;
  • Oui mais du coup si parce que si j’enlève 2 à 8 je trouve 6 et je rajoute le 2 au D10 ça fait le D12 ;
  • C’est équitable, mais c’est parce que 17 on peut l’obtenir de deux façons à chaque fois : 8+9 ou 7+10 pour l’un, et 6+11 ou 5+12 pour l’autre. Ca fait deux chances pour les deux ;
  • Oui mais non, c’est pas les chances, c’est les décompositions. Faut qu’on trouve les probabilités ;
  • En plus ça fait pas autant de possibilités, ça fait 80 contre 72.

Bon, là, je suis épatée. Il va falloir synthétiser et organiser tout ça, mais globalement j’ai tout : les élèves ont pensé à décomposer et à énumérer les décompositions, et dans les deux groupes ils sont deux ou trois à avoir pensé au principe multiplicatif.

Etape 3 : on représente, on résoud

Les élèves sont tentés de lister, et je propose un tableau pour être sûrs de ne rien oublier. Une fois la proposition faite, ils réalisent de façon autonome les deux tableaux et déterminent les probabilités. Bon, on a encore du temps… Je peux donc dégoupiller mes questions prévues au cas où.

Etape 4 : on consolide

Prof : « J’ai des questions, moi, du coup. »

Elève : « Moi aussi madame, j’ai une question, est-ce qu’on pourrait choisir d’autres nombres pour voir si c’est toujours le même Dudu qui est favorisé ? »

Prof : « Ah bin oui, c’était ma question justement. Je voudrais qu’on essaie avec 2, 18, 12 et 7. Et ensuite ce que vous voulez. »

Hop pif pouf, c’est fait.

Etape 5 : on décolle

Prof : « J’ai une dernière question. »

Elève : « madame, moi aussi, avant j’en ai une aussi. Est-ce que c’est possible de trouver un nombre où ça serait équitable ? »

Prof : « C’était à nouveau ma question. C’est bien, vous vous posez les questions qui me plaisent. »

Alors là, il a fallu un coup de main de ma part, quand même, pour la mise au même dénominateur. Mais ensuite, j’ai eu du répondant, jusqu’à la solution, dans les deux groupes. Un élève a conclu :

« C’est pratique quand même, d’avoir un moyen d’être sûr comme ça, sans avoir à tout tester. Ca aurait fait long sinon. »

Hé oui. Ca s’appelle raisonner et modéliser. C’est balèze, les maths.

Cela dit, mes 4e sont parfois pénibles, mais eux aussi sont bien balèzes quand il s’agit de raisonner (parce que quand il s’agit de rédiger ou de mémoriser, c’est souvent différent). Travailler avec eux est vraiment intéressant.

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