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Le chateau de cartes des Dudu (édition 2020)

Tous les ans, je fais traiter le problème du château de cartes des Dudu à mes élèves de 6e.

D’habitude, je l’aborde plus tôt dans l’année. mais avec ma nouvelle programmation, il avait trouvé sa place dans la séquence 3, que nous ouvrons ces jours-ci. Je ne sais pas si cela deviendra une généralité, mais travailler ce problème plus tard, alors que nous avons traité cinq ou six gros problèmes avant, et participé à deux rallyes, est peut-être préférable : là, j’ai vu mes élèves vraiment chercher. Et trouver même.

La situation et son explicitation

J’ai travaillé ce problème en demi-classe. D’abord, je diffuse la vidéo, une à deux fois selon les groupes : deux groupes ont capté la problématique et toutes les informations du premier coup, deux autres non. Je demande aux élèves de reformuler, et je leur projette un diapo qui explique comment on construit un château de cartes. Sur quatre niveaux, nous dénombrons les cartes nécessaires. Cette année, plusieurs élèves ont vu tout de suite qu’on « ajoute trois cartes de plus à chaque fois qu’on en ajoute, par rapport à la fois d’avant ». Ca m’a bluffée, comme ça, pouf, d’emblée. Du coup, j’ai dégoupillé la version 2 du diapo, celle qui fait apparaître le nombre de cartes ajoutées à chaque niveau supplémentaire, du niveau 1 au niveau 4.

Modélisation, phase1

Nous simplifions la problématique ainsi :

  1. 320 cartes suffiront-elles ? Ou en faudra-t-il 600 ? Ou 900 ?
  2. Combien faut-il d’étages ?
  3. Combien mesure la hauteur d’un étage ?
  4. Combien faut-il de cartes pour réaliser 31 étages ?

L’étape « combien mesure la hauteur d’un étage ? » est intéressante, car beaucoup d’élèves, spontanément, mesurent une carte. D’autres interviennent toujours : non, ça ne va pas, les cartes sont penchées, la hauteur d’un étage va être plus petite que la taille d’une carte. Ce qui est également intéressant, c’est qu’il faut décider : les élèves aimeraient qu’il y ait une hauteur standard de niveau de château de cartes. Mais ils doivent décider. Hier, comme tous les essais donnaient entre 7,5cm et 8,5cm, les élèves ont choisi 8 cm, en justifiant que c’était plus pratique pour diviser. Mais diviser quoi, au fait ? Il a fallu se mettre d’accord :

Il faut une division parce qu’on veut savoir un nombre de paquets dans un ensemble de trucs.

On divise 250 par 320 ?

Non, 320 c’est les cartes. Tu peux pas diviser des cm par des cartes, enfin pas comme ça là.

Et 320 on n’est même pas sûr, peut-être c’est moins ou plus.

Il faut chercher les étages, donc combien de fois il y a 8 cm dans les 2,50 m.

On va après la virgule ou pas ?

Bin non, on va pas avoir des nombres de cartes à virgule.

Très bien, bonne idée, on y va. Mais la division donne un reste de 2. Et je passe beaucoup de temps sur l’interprétation de ce 2 ; j’entends :

  • Il reste 2 cartes
  • Il reste 2 étages
  • Il faut 2 étages
  • Il reste 2 paquets
  • Il reste 2 cm

Et comme je veux que les élèves comprennent par eux-mêmes, il fat des débats et du temps pour que chacun comprenne qu’avec 31 étages de 8cm de haut, on atteint 248cm. Il reste 2cm entre le sommet du château et le plafond. Certains élèves, pour s’en convaincre, ont dû poser la multiplication 31×8, comme quoi le sens de la division n’est pas encore assimilé pour tous.

Mais ensuite, question supplémentaire : est-ce embêtant qu’il reste 2cm ? Là, j’ai eu droit à un pffffff, noooooooon qui sentait le « on va pas s’embêter, madame, allez ». Et des élèves ont trouvé un compromis acceptable pour les puristes que cela gênait : « on va resserrer un peu les cartes des piliers quand on arrivera vers le haut. On va gagner des millimètres et comme ça on va réussir à faire 2,50m. Bon, tout le monde est d’accord.

Intermède 1

Madame, il y a un truc on a pas tenu compte, mais il faut : ça va prendre de la place, et sur sa table bah à mon avis ça tient pas »

C’est la première année qu’un élève me fait cette remarque. Et c’est très pertinent. Du coup, nous nous sommes donné une tâche secondaire : calculer la longueur au sol du château. Et là l’idée est née : on va construire le château, si ça tient dans la classe. On va tous ramener des paquets de cartes, et on va le construire en collant. Et on prendra une photo et on l’enverra aux Dudu. Hein oui madame on peut hein dites ?

Rho oui, c’est rigolo. Mais sur le temps du midi, alors, ok ? Et avant tout il faut résoudre le problème : je dois savoir de combien de paquets de cartes nous aurons besoin, et la taille du château.

Ouééééééééééé !

Forcément, ça motive, la mise en projet.

Intermède 2

Mais au fait, à vue de nez, comme ça pouf à la louche, vous diriez combien de cartes ? Parce qu’estimer, c’est important, aussi.

Un bon Normand.

Représentations/modélisation, phase 2

Chacun s’est mis à chercher, en groupes évolutifs. Voilà quelque chose que mes élèves ont appris : aller chercher l’avis d’un autre groupe, ou une inspiration chez ceux qui ont l’air de « trouver des trucs ». Ca finit un peu en pugilat parfois encore si je n’interviens pas à temps, mais on progresse.

Plusieurs questions se sont posées :

  • Est-ce qu’on peut réfléchir sur un plus petit château et après multiplier ? Par exemple, on part sur nos 4 niveaux et on multiplie par 4 et on enlève un étage ;
  • Est-ce que chaque étage comporte le même nombre de cartes ?
  • Est-ce que chaque étage comporte la moitié de cartes par rapport au précédent ?

Autrement dit, nous avons parlé proportionnalité. C’était très enrichissant pour moi, car comme nous étions en dehors d’un abord explicite de la proportionnalité, nous avons pu creuser et le mot « proportionnalité » n’est apparu que très tardivement, nous laissant le temps de réfléchir sans chercher à se ramener à une représentation étroite de la question.

Nous n’avions qu’une heure, quand même… Et pourtant, nous avons résolu le problème. Nous avons eu recours au tableur, pour terminer, et vérifier les calculs. Les élèves avaient bien retenu l’utilisation de formules et ont été capables de me dire quoi écrire dans mon tableur. Mais surtout, ils avaient trouvé, par plusieurs méthodes différentes :

Résolution

Première méthode : on liste les nombres de cartes sur 31 étages, en partant du haut.

Deuxième méthode : on liste le nombre de cartes sur 31 étages, en partant du bas, qu’on étoffe au fur et à mesure.

Cela permet de répondre à la question : où en sera-t-on quand on posera la 320e carte ?

Troisième méthode, qui répond aussi partiellement à la question de l’encombrement : il y a autant de piliers que d’étages, et un nombre de planches égal à étage du dessous-1. On peut donc aussi additionner 31+30+…+1 pour avoir le nombre de piliers, multiplier par 2 pour avoir le nombre de cartes, et additionner la somme des nombres consécutifs de 30 à 1.

Les élèves sont repartis tout guillerets, en me déclarant que les problèmes c’est trop bien, et quand est-ce qu’on ramène des cartes ? Et moi, j’ai passé un très bon moment.

Franchement, je vous conseille vraiment ce problème. On aborde plein plein de thématiques :

  • La recherche de problème
  • L’argumentation
  • La structuration d’une raisonnement
  • La représentation d’une situation
  • Le sens des opérations
  • La division euclidienne et son sens
  • Les suites (sans le dire, mais bon)
  • Le tableur, si on veut
  • Les distances
  • Les conversions

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