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La règle du parallélogramme

Ce matin, Yvan Monka a chatouillé mon cerveau : je ne connaissais pas la règle du parallélogramme. Je pourrais vous dire que j’ai honte, mais en fait non : je suis en revanche très contente de l’avoir (re)croisée :

A la pause du midi, j’avais envie d’écrire la démonstration, qui n’est pas difficile à partir de l’égalité d’Al-Kashi. Mais ça m’a fait plaisir, et je m’en vais raconter ça à ma fille, qui ne doit pas connaître Al-Kashi, en plus.

IMG_6657

Mais j’ai une question : peut-on démontrer cette égalité au niveau collège, autrement que par GeoGebra ? Je pense déjà proposer aux quatrièmes que j’aurai l’année prochaine la construction par Ggb, mais puis-je passer par un autre chemin avec eux ?

 

5 réflexions au sujet de « La règle du parallélogramme »

  1. en utilisant Pythagore et les identités remarquables (niveau 3e du coup) :
    soit E projection de C sur AD, soit F la projection de sur BC
    pour la grande diagonale :
    AC²=AE²+EC²=(AD+DE)²+EC²
    =(AD²+DE²+2AD⋅DE)+EC²
    = AD²+2AD⋅DE+DC²

    et pour la petite diagonale :
    BD²=(BC-FC)²+FD²
    =BC²+FC²-2BC⋅FC+FD²
    =BC²-2BC⋅FC+DC²

    Or AD=BC (cotés opposés) et DE=FC car (AD) // (BC),
    donc en faisant la somme, on peut simplifier :
    AC² + BD² = AD²+2AD⋅DE+DC² + BC²-2BC⋅FC+DC²
    = AD²+DC² + BC²+DC²+2AD⋅DE- 2AD⋅DE
    = AD²+DC² + BC²+DC²
    = AD²+DC² + BC²+AB²
    CQFD

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  2. On utilise ici implicitement le fait qu’en projetant D et C respectivement sur les droites (BC) et (AD), l’une des images se trouve en fait sur le côté du parallélogramme et l’autre en dehors, et ce n’est pas toujours le cas, il serait possible que les deux projetés soient en dehors (et on n’aurait plus un terme issu d’une différence qui se simplifie avec un terme issu d’une somme). On peut régler facilement cela dans le cadre vectoriel, mais là on sortirait du collège…
    Il faut souvent se méfier avec les sommes de longueurs de points alignés ; il y a de fortes chances que, comme on voit trois points alignés dans un certain ordre, on ne prenne pas la peine de justifier pourquoi ils sont dans cet ordre.

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