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Quand arithmétique, proportionnalité, numération et calcul convergent et que les élèves s’en rendent compte

Mes copies sont corrigées, mes cours prêts, le dernier entraînement de la course aux nombres de la période est imprimé, je n’ai plus de mails en souffrance, j’ai préparé les cinq formations de la semaine ; je peux donc vous raconter les fractions et les Legos, cette année en sixième.

En 2018, j’avais publié cet article, et en 2019 celui-ci, avec tous les documents. Cette année, j’ai aménagé l’activité et les élèves mont aussi emmenée un peu ailleurs.

Le but de cette activité est de permettre aux élèves de changer leur façon d’envisager les fractions (j’en parle ici, d’ailleurs), pour passer de la représentation mentale en « parts » à celle de nombre. Mon objectifs procédural est que les élèves soient capables d’écrire (en comprenant pourquoi) des égalités du type :

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Première partie

Pour cela, je commence par travailler les représentations du nombre que connaissent les élèves. C’est la première partie de l’activité. Soit je manipule en projetant avec ma caméra de bureau, soit les élèves manipulent. J’ai fait l’un et l’autre cette année, selon les classes.

Capture d’écran 2020-02-09 à 18.41.09

Lors de cette étape, je veux absolument amener les élèves à écrire en fractions décimales, et plus spécifiquement en centièmes, pour passer aux pourcentages. C’est l’occasion pour eux d’une découverte : un nombre exprimé en pourcentage, c’est un nombre de centièmes (remarquez la grande complexité de cette phrase, malgré son apparente simplicité, avec le mot « nombre » utilisé dans deux sens différents).

Ensuite, toujours dans la première partie de l’activité, nous trouvons des avantages et des inconvénients à chaque écriture. J’écris ce que me disent les élèves. Cette année, par exemple :

  • les écritures décimales c’est pratique pour calculer mais pour comparer c’est compliqué ;
  • les fractions c’est difficile à comprendre mais c’est utile pour les tiers et tout ce qui ne tombe pas juste ;
  • les écritures en toutes lettres : on comprend tout mais on ne peut pas poser les opérations ;
  • les pourcentages : c’est facile de se représenter pour comparer mais on n’a pas compris comment faire des calculs avec pour trouver des prix.

Avec ces propositions, j’ai un fil rouge : je vais y faire référence au fil de la séquence et y revenir en institutionnalisant à la fin.

Deuxième partie

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Dans cette deuxième partie, nous abordons le vif du sujet.

D’abord, nous explicitons longuement l’idée d’unité, et, en visualisant des regroupements de picots, nous écrivons par exemple :

Capture d’écran 2020-02-09 à 18.57.54

Ce n’est pas du tout évident, pour les élèves. Pour eux, 1 est égal à 6/1, ou à 6/0 (brrrrr), ou à 1/6, mais il faut faire le lien avec les briques : on numérote les picots et on a 6/6, en verbalisant 6 picots parmi 6, puis on fait des paquets de deux picots et on comprend que ça donne 3/3, etc. Mine de rien, cette petite étape est longue et doit être soignée, car des représentations nouvelles s’installent ainsi.

Puis nous manipulons : comment relier les deux briques, autrement que par « la plus petite, elle est plus petite » ? Les élèves mettent « bout à bout » plusieurs petites briques et dépassent l’unité. Que faire ? « Il faut une autre unité » émerge naturellement. Et on continue. A un moment donné, paf, ça « tombe pile ».

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C’est là que cette année, les élèveront un peu varié par rapport à l’habitude, et je crois bien que c’est grâce aux rituels d’entrée de classe. Ils m’ont dit « ah oui, c’est normal, parce que trois fois huit picots et huit fois trois picots, c’est pareil ». Bien (cela m’adonné l’occasion de reparler de la commutativité et de sa « normalité » ou non). Et sur l’exemple 1 de la deuxième partie, j’ai eu : « on peut mettre 6 briques bleues et quatre briques orange, parce que les deux ça fait 24 » et « on peut aussi mettre 3 briques bleues et 2 briques orange, parce que c’est des histoires de multiples », et des élèves ont ajouté « oui, c’est proportionnel, en fait ». Cela nous a amenés à répondre à une question que je n’avais pas posé : une élève d’est exclamé « Mais du coup qui qu’il arrive on pourra faire pile. Ca veut dire qu’on peut toujours faire ça. Au pire, ce sera long, mais comme on cherche un multiple aux deux nombres, on va forcément trouver ».

Tout ceci m’a valu, dans deux classes sur trois, une prise conscience collective : « mais en fait madame, c’est pour ça qu’on a travaillé les multiples et les diviseurs, et la proportionnalité… On a besoin de tout pour comprendre ! » ; avec la question en effet secondaire : « vous l’avez fait exprès ? »

Ca, c’était une nouveauté et ces remarques-là ont illuminé ma semaine. (si, si. Je suis sans doute bon public, mais comme mon métier est de faire comprendre, quand ça marche sur des choses délicates, je me réjouis)

Nous avons institutionnalisé, ensuite. Je prendrai les cahiers en photo demain pour vous montrer.

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Cette année, les élèves ont ajouté la référence au nombre de picots : 3 x 4 picots = 2 x 6 picots.

Puis c’est le temps des exercices. Il me reste à les traiter avec une de mes trois classes : je vais enregistrer pour vous le montrer également.

Et il nous reste la troisième partie à traiter, mais en général c’est du gâteau. Nous n’y sommeras encore, car le course aux nombres m’a amenée sur du repérage et ça, ce n’est pas du gâteau du tout.

Ce que j’aime, dans cette séquence que j’ai mis six ans à stabiliser, c’est que les élèves comprennent et que cela se voit. Elle illustre bien le triptyque manipuler-verbaliser-abstraire, sans faire passer l’abstraire à la trappe : c’est bien son objectif.

8 réflexions au sujet de « Quand arithmétique, proportionnalité, numération et calcul convergent et que les élèves s’en rendent compte »

  1. Bonjour,
    C’est super de voir évoluer votre travail. Toujours un plaisir de vous lire.
    Petite question « technique »: quel type de légo utilisez-vous ? Quel quantité donnez-vous aux élèves quand vous les laissez manipuler ?

    J'aime

    1. Merci, c’est gentil 🙂
      J’utilise des Lego « classiques », avec une enveloppe prête pour chaque binôme. Je prendrai en photo son contenu vendredi pour vous montrer. Il y a le nécessaire, plus des parasites, histoire de réfléchir de toute façon.

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