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De la nécessité de faire expliciter les démarches

Une élève s’est demandé, lors d’une activité décrite ici, quel nombre est le plus grand de 2/3 ou de 3/5. Elle a réfléchi dur, a écrit ses idées sur son cahier, puis a levé la main, l’air conquérante. Comme je l’interrogeai, elle m’a dit : « C’est deux tiers ! »

J’aurais pu m’arrêter là, heureuse que la bonne réponse me soit fournie aussi rapidement. Mais comme souvent dans notre discipline, la réponse est bien moins intéressante que la démarche.

« Ok, ai-je répondu, pour toi 2/3 est plus grand que – on dit aussi supérieur à – 3/5. Avant que tu nous expliques, d’autres sont-ils d’accord avec toi ? »

Plusieurs mains se sont levées. À peu près autant d’élèves pensaient 3/5 supérieur à 2/3. Un seul autre élève pensait pouvoir proposer une explication : 25 élèves exprimaient donc un avis sans se penser être prêt à expliquer le pourquoi de cet avis.

« Alors, maintenant, explique-nous ta démarche ».

« J’ai colorié », m’a répondu l’élève. J’ai pris deux formes pareilles, deux rectangles qui mesurent la même longueur et la même largeur, et j’ai colorié 3/5 et 2/3, et j’ai vu que 2/3 c’est beaucoup plus grand que 3/5. »

Voici ce qu’a réalisé cette élève :

Capture d’écran 2019-02-01 à 17.42.19

Sa production est très intéressante :

  • Elle a su s’engager dans une recherche, se donner une méthode, la suivre jusqu’au bout, et a eu envie de la partager. Rien que ça, c’est super ;
  • Elle a comparé ce qui est comparable : elle a effectivement dessiné deux rectangles identiques, et a exhibé son idée comme argument de validation de sa démarche ;
  • Le premier rectangle est « coupé » en dix parts égales, et l’élève a représenté 3/10 en affirmant représenter 3/5. En fait, en nous expliquant, elle nous a montré qu’elle avait tracé d’abord un rectangle de deux carreaux sur cinq carreaux, et coloré trois parts. Elle avait bien représenté 3/5 de la surface du rectangle. Mais ensuite, elle a tracé un autre rectangle de quatre carreaux sur cinq. Une de ses camarades lui a fait remarquer qu’elle ne pouvait pas comparer deux fractions d’unités différentes. Elle a du coup « rajouté » la moitié inférieure du premier rectangle. Mais n’a pas modifié la partie grisée, puisqu’il y en avait bien 3 ;
  • Représenter 1/3 sur le deuxième rectangle a bien embêté mon élève : ni la longueur de cinq carreaux, ni la largeur de quatre carreaux ne s’adaptait facilement à des tiers. Alors elle a opté pour un découpage différent, « comme on faisait à l’école avec les pizzas ». Elle même fait référence à la notion d’angle. Certes, sauf que cette pizza-là n’est pas circulaire mais rectangulaire. Interrogée sur son partage, l’élève a rapidement observé que ses parts n’étaient égales, en estimant le nombre de carreaux qui composaient chacune d’elles. Elle s’est alors demandé quelles dimensions choisir pour se simplifier la vie.
  • Sur les deux notes : « 2 carreaux=1 part » et « Il y a plus que 2 carreaux », l’élève a voulu argumenter (ce qui est bon réflexe) pour conclure : en haut en grisé il y a trois fois deux carreaux, ce qui donne six carreaux, alors qu’en bas chaque part contient (beaucoup) plus que deux carreaux, et cela dépasse six carreaux grisés.

La proposition de cette élève est très riche et permet d’aborder de multiples points avec la classe : la nécessité de comparer ce qui est comparable et de se donner une référence, la méthodologie, les limites de la fraction partage (l’autre élève a proposé de comparer les deux fractions écrites en quinzièmes, et tout le monde a trouvé ça bien plus efficace au final), l’intérêt d’expliquer son cheminement…

C’est un beau matériau pédagogique, et je suis très contente que cette élève ait eu envie de le partager. Après analyse elle était toute contente, d’ailleurs, ce qui laisse penser que son rapport à l’erreur est construit dans le bon sens.

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