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Manipuler, représenter, abstraire, pour comprendre

Nous continuons d’avancer dans les fractions. D’ici peu sur nos écran, le décimal va pouvoir être institutionnalisé. En attendant, comme je n’ai pas eu le temps d’intégrer les changements que certains parmi vous ont eu la pertinence de me proposer et la gentillesse de partager, je suis toujours sur ma trame initiale pour cette année.

Dans mes deux classes de sixième, nous en sommes à peu près au même point :

La première partie est finie :

capture d_écran 2019-01-08 à 09.03.32
Une version collective

 

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Une version individuelle, qui m’intéresse et que je vais réexporter dans la séquence, car elle aborde les solides et les polygones, ce qu’aborde aussi cette séquence.

Aujourd’hui, nous avons comparé les écritures qui ont marqué les élèves :

capture d_écran 2019-01-22 à 17.04.18capture d_écran 2019-01-22 à 17.03.46

C’est intéressant de voir que les deux classes ont cité les cinq mêmes types d’écriture (pas en toutes lettres, par exemple), mais n’ont pas synthétisé de la même façon. En particulier, pour comparer deux nombres, une classe préférait initialement l’écriture fractionnaire, l’autre l’écriture décimale. Les deux classes ont évoqué la division, mais de façon différente aussi. À noter que tous m’ont dit que les décimaux étaient « réservés » aux maths, et compliqués hors maths.

À cette occasion, nous avons retracé leur parcours mathématique pour découvrir les fractions. Ils se sont souvenus d’abord avoir partagé, puis avoir divisé. Bien. Hé bien aujourd’hui, leur ai-je dit nous allons envisager les fractions d’une autre façon encore. Et nous avons entamé la deuxième partie :

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J’ai de nouveau utilisé les logos, pour les coller au tableau :

capture d_écran 2019-01-22 à 17.03.42

Puisqu’il fallait comparer, nous avons comparé jusqu’à ce que le même nombre soit représenté à coup d’unités ou à coup de 2/3. Certains élèves ont compris très vite, vraiment compris : trois fois deux tiers, ça donne deux tiers plus deux tiers plus deux tiers, donc six tiers, ou deux unités. D’autres ont remarqué la « coïncidence  » des nombres 2 et 3 qui apparaissent dans des rôles différents. Ils m’ont fait écrire ça :

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Ensuite, nous sommes passés à la question 2. Dans la question 1, mon but était de m’appuyer sur la manipulation (dont le sens avait été intégré par les élèves dans la partie 1) puis la représentation, et de s’engager dans l’abstraction. Dans la question 2, j’espérais pouvoir me passer de l’étape de manipulation. Les élèves me l’ont réclamée, alors j’ai fait mine de les suivre. Rapidement, ils m’ont dit que non, ça allait être trop long puisqu’il faudrait « 8 petites briques et 3 grandes briques ». Quand j’ai demandé pourquoi, certains m’ont montré le dessin qu’ils avaient fait sur leur cahier en s’imaginant la manipulation, et d’autres n’en avaient pas besoin : ils avaient modélisé.

Un élève a résumé ainsi :

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Il a utilisé des dessins pour généraliser, ce qui est une démarche intéressante.

Enfin, nous sommes passés aux exercices. Des automatisations du type 5×(3/5)=? Tous les élèves ont réussi, et m’ont dit des tas de choses très variées :

  • C’est super simple, la réponse est dans la question
  • En fait on répète tout le temps la même chose, c’est facile
  • Ca veut dire que 5 cinq fois le nombre trois cinquièmes ça donne trois unités
  • Ça veut dire que si je mets cinq petites briques de trois picots de long ça donne trois unités qui seront chacune des briques de 5 picots
  • Est-ce que je peux faire un dessin ?
  • Est-ce que je peux prendre les légos pour le faire parce que je ne vois pas ?
  • En fait, 3/5 c’est un nombre et la multiplication m’explique ce qu’il veut dire

Autrement dit, les élèves en sont à des stades très différents de leur compréhension. Pour certains elle n’est pas encore vraiment engagée, pour d’autres peut-être aboutie. Je les avais avertis en début de séance, qu’il faudrait du temps et que ce temps ne serait pas le même pour chacun. Mais un rythme de compréhension, ça se respecte. Et ça se travaille, aussi.

Comme il me restait quelques minutes, j’ai eu le temps de mener avec eux une petite réflexion : qui parmi vous pense avoir compris ? Presque toutes les mains se sont levées, mais une élève (par ailleurs réservée, j’étais contente qu’elle exprime son point de vue ainsi) a dit « Moi, je ne sais pas si j’ai vraiment compris. Je sais ce que je dois faire, je sais comment le faire, mais je ne suis pas sûre de savoir vraiment pourquoi. »

Nickel, c’est exactement ce que j’attendais.

Alors, ai-je demandé aux autres ? Réfléchissez bien. Je vous repose la question, car votre camarade a raison : je peux savoir quoi faire là tout de suite sans avoir vraiment compris. Qui a compris ? Il restait moitié moins de mains levées et les enfants avaient l’air de considérer la question avec un grand sérieux. C’est normal et cela ne m’inquiète pas du tout, car c’est ainsi chaque année et en fin d’année je ferai mon bilan. Comme je travaille par tâche et pas par notion, nous allons réactiver tout le temps  partir de maintenant et donner du sens par des biais et dans des contextes variés. Mais surtout, je suis très contente que nous ayons pu réfléchir à ce que signifie comprendre, et à pourquoi c’est utile. Comme a conclu un élève « si je n’ai pas vraiment compris, dès que ça va changer un peu ou être au milieu d’autres trucs, je saurai pas faire. Ou j’aurai oublié. Si j’ai compris, bin j’aurai compris, quoi. »

Demain, réorganisation au propre de tout ce que nous avons institutionnalisé dans tous les sens mais façon puzzle.

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