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La proportionnalité du marron glacé : rapport interne, rapport externe

Une notion que je ne connaissais pas nous a été présentée en formation de formateurs sur la proportionnalité : les rapports internes et externes. Elle vient d’Arnaud Simard, maître de conférence à Besançon. J’ai besoin de développer un peu la question pour être sûre d’y voir clair.

Prenons un exemple de saison :Unknown.jpg

 2 marrons glacés apportent 100 kcal. Combien de kcal apportent 8 marrons glacés ?

Il y a plusieurs façons de raisonner, évidemment.

  • Si vous vous dites par exemple que 100, c’est 50 fois 2, vous utilisez un rapport externe simple. Le nombre 50 est en fait ce qu’on appelle le coefficient de proportionnalité. On l’appelle aussi l’opérateur.

Il est dit externe dans le cas où il relie un couple de données se correspondant, données qui ne sont pas forcément exprimées dans la même unité.

Il est dit simple dans le cas où l’aspect calculatoire « ne pose pas de difficulté », même si cela me semble tout à fait subjectif.

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C’est la même chose si vous divisez par 50, puisque vous multipliez par 1/50.

  • Si vous dites plutôt que 8, c’est 4 fois 2, vous utilisez un rapport interne, lui aussi simple. On l’appelle aussi rapport scalaire.

Il est dit interne dans le cas où il met en relation des nombres mesurant les mêmes grandeurs.

Capture d’écran 2019-01-03 à 11.50.39.png

Un retour à l’unité est aussi un rapport interne.

Monsieur Simard écrit (ici, dans le Petit x n°90 de 2012, p35-52) : « Dans une situation de proportionnalité liant deux grandeurs, la relation interne est celle qui lie les valeurs d’une même grandeur, la relation externe est celle qui lie les valeurs de grandeurs distinctes. »

Il décrit un rapport simple comme par exemple « un rapport entier 2, 3, 10 etc., ou décimal 1,5« . Une situation peut être liée à un rapport interne simple et un rapport externe complexe, bien sûr, ou inversement.

Le vocabulaire rapport externe/interne ne doit pas parvenir aux élèves : c’est un outil de repérage pour l’enseignant, qui permet de désigner facilement deux procédures vraiment distinctes. L’une est homogène, l’autre pas. Sur le plan cognitif et du sens, c’est important.

En conclusion de l’article de Petit x cité plus haut, monsieur Simard écrit :

« confronté à une situation de type « recette », un élève de CM1 réussira grâce à une procédure basée sur une représentation schématique de la situation tandis qu’un élève de Sixième échouera sur le même problème en tentant de calculer le coefficient de proportionnalité. (…) L’idée est de baser largement l’apprentissage de la proportionnalité sur des contextes variés en insistant sur les propriétés de linéarité et de retour à l’unité. Ces deux techniques évoluant de front en fonction des contextes présentés (contextes à fort indice de proportionnalité). Le tableau de proportionnalité est alors considéré uniquement comme un outil pour pour ré-écrire l’énoncé et non pas comme une fin en soi (au moins jusqu’en fin de Sixième).« 

Et même plus tard, beaucoup d’élèves n’ont pas encore vraiment compris le concept de proportionnalité et le tableau ne peur permettra pas de combler ce déficit, contrairement au langage naturel et à la représentation.

2 réflexions au sujet de « La proportionnalité du marron glacé : rapport interne, rapport externe »

  1. Si on utilise les unités dans les calculs, il est plus évident de parler de rapports interne (linéarité x : on double on triple on prend la moitié …) que de rapports externe (grandeurs quotient)

    Même si pour certains c’est logique que 2 x50 ça fait 100. C’est tout de même bizarre en 6eme notamment, qu’à partir de marrons en faisant une multiplication on obtiennent des calories.

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  2. Oui, mais cela dépend en fait de la façon d’envisager les choses, du degré de modélisation : si tu t’affranchis de l’aspect concret de la situation, que tu te rapportes à un modèle théorique, c’est efficace aussi.

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