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Une analyse du pile up

Lundi, mes élèves de quatrième ont consacré une heure au Pythagoras Pile up que m’avait conseillé Joan. Je reproduis les documents distribués, qui ont été corrigés par Sonia, car j’avais fait des bêtises et que certaines données n’étaient pas claires :

Capture d_écran 2018-09-26 à 13.40.36Capture d_écran 2018-09-26 à 13.40.05

Aujourd’hui, j’ai corrigé les productions de mes élèves.

Le premier constat est que tous se sont investis, et que deux binômes ont été en difficulté sans m’appeler. Comme j’étais très sollicitée par beaucoup d’élèves et que j’avais une fièvre de cheval, ils m’ont échappés. Il faut que je reprenne avec eux, et qu’ils puissent refaire l’exercice au moins partiellement, pour que nous sachions, eux et moi, que tout va bien.

Ensuite, cet exercice me semble avoir maintes qualités.

Il motive : cet exercice est inhabituel, en anglais, coloré et la consigne est perceptible rapidement. J’ai annoncé aux élèves que c’était un essai, que je ne l’avais jamais proposé, que sans doute c’était difficile mais qu’ils étaient à la hauteur. Tout ça, c’est bien pour s’engager.

Il automatise : utiliser douze fois l’égalité de Pythagore en une séance, ça aide à fixer en mémoire le procédé, forcément.

Il permet l’autonomie : le fait de proposer une version « de base » en annonçant que seuls des entiers y sont engagés (celle de droite) et une version plus difficile, à cause de l’organisation des figures et de l’usage des valeurs approchées (à gauche) a donné le choix à chacun. Certains élèves ont commencé avec la version difficile, ont rempli deux lignes, et on basculé sur la version plus accessible. Et ceux qui travaillaient sur la version avec entiers ont pu déterminer par eux-mêmes qu’ils se trompaient, lorsqu’ils trouvaient des résultats non entiers, et chercher l’erreur de façon autonome pour ne m’appeler qu’en cas de réelle nécessité.

Il rend utile la collaboration : rapidement les élèves se sont aperçus qu’une erreur allait fausser toute la suite. Ils ont alors commencé à collaborer, et ont débuggé ensemble : une des qualités de l’exercice est que l’erreur n’est pas forcément facile à déceler. Alors ils ont comparé, débattu, joliment réfléchi, et, surtout, verbalisé. Parmi les erreurs que j’ai observées, j’ai vu par exemple :

  • des élèves qui appliquent mal l’égalité de Pythagore : ils n’isolent pas l’hypoténuse ou omettent les carrés ;
  • des élèves qui n’ont pas donné de sens à la racine carrée et ne l’utilisent pas, ou bien notent par exemple AB²=√36=6 donc ça fait 6 ;
  • des élèves qui ne tiennent pas compte des mesures « qui dépassent sur les figures ». Par Capture d_écran 2018-09-26 à 13.55.06exemple, ici, certains élèves calculent correctement l’hypoténuse du triangle A et trouvent 26, mais ils ne tiennent pas compte du 14 indiqué sur la figure pour poursuivre. Certains utilisent 26 comme côté de l’angle droit du triangle C, et d’autres choisissent 13 parce qu’ils ont l’impression que le côté est coupé en deux parts égales ;
  • Capture d_écran 2018-09-26 à 13.55.27Des élèves qui comprennent mal ce que désignent les données potées sur la figure. Par exemple, là, certains élèves ont pensé que l’hypoténuse du triangle C mesure 5. Un binôme m’a même appelée pour me dire que c’était bizarre, on n’avait besoin de rien calculer dans A et B, et un autre binôme m’a fait part de sa perplexité : ils avaient un triangle rectangle C dont l’hypoténuse était plus petite que chaque côté de l’angle droit. Ce sont de bonnes remarques, d’ailleurs, qui montrent qu’ils cherchent à faire preuve d’esprit critique face à leurs propres résultats ;
  • Capture d_écran 2018-09-26 à 13.57.05Des élèves qui choisissent mal l’opération. Dans ce cas-ci, il a fallu aider à redresser pas mal de représentations bancales : l’hypoténuse de E est 41, et plusieurs élèves se ruent sur l’addition et effectuent 22+41+18, ou bien choisissent la soustraction (41-18-22, ce qui les laisse perplexes, parce que 1 ça leur semble bizarre). Alors il faut mettre en mots : que cherches-tu ? La longueur de la flèche jaune. Elle est constituée de quoi ? De 22 plus un bout de l’hypoténuse de E. Et là, c’est bon : ah oui, j’ai compris, il faut que je retire 18 pour avoir ce bout-là et ensuite j’ajouterai 22 pour avoir le côté de F que je cherche. Bin voilà. Mais en attendant, il a fallu exprimer précisément les choses, et ça c’est bien.

Il m’a permis d’évaluer : j’ai pu savoir qui « oublie les carrés » (ce qui signifie que mes activités d’introduction n’ont pas fait sens), qui a des soucis de choix d’opération (Faut pas faire +, c’est ça ? Je fais quoi madame ? – ? Non, × ? Quand même pas ÷ ???), qui parvient à se concentrer dans la durée, qui  a besoin de tout écrire et qui se fait confiance. J’ai pu voir la multitude d’organisations différentes quant à la gestion de la trace et de l’usage du tableau fourni, mais aussi quelle confiance les élèves m’allouaient déjà en relançant dans la tâche avec énergie. J’ai pu voir qui cherchait à glandouiller, même si j’en avais déjà une idée assez précise. Mais ce qui m’a le plus frappée, c’est la différence d’intériorisation du principe de l’égalité de Pythagore et la gestion des opérations à effectuer :

  • Une majorité d’élèves n’a pas été perturbée du tout par l’absence de lettres sur les sommets de triangles. Cela n’a même pas suscité de question : ils ont élevé les mesures au carré, on additionné ou on soustrait, on prend la racine et zou. Mais pas mal d’autres ont été proprement bloqués par l’absence de lettres aux sommets. Ils n’osaient pas en porter eux-mêmes ; une fois que je leur ai dit que oui, ils pouvaient le faire, ils ont bien avancé. À part une élève qui a utilisé les lettres A, B et C pour tous les triangles jusqu’au bout, tous les autres ont laissé tomber au bout de deux à quatre triangles. C’est intéressant, car en fait cela dénote un passage du procédural (j’applique exactement comme dans l’exemple de la leçon) à une compréhension du principe (la somme des carrés des petits côtés est égale au carré du grand côté). Je n’avais pas anticipé ça, et ça m’a plu ;
  • Une partie des élèves écrit l’égalité de Pythagore sous sa forme conventionnelle, avec une somme. Une fois la somme écrite, ils identifient l’inconnue et se demandent comment l’atteindre. Lorsque c’est un côté de l’angle droit, ils ont deux stratégies : la soustraction directe, mais aussi l’opération à trou, en général formulée oralement (il faut que je trouve combien il faut pour aller à 100 si j’ai déjà 64). C’est un renseignement précieux pour moi que de savoir qui pense comment, en particulier pour préparer mes contenus sur les équations. Mais il y a d’autres élèves, qui ne passent pas par l’écriture additive de l’égalité de Pythagore : ils raisonnent en termes d’aire de carrés, et se concentrent sur celui qu’ils cherchent. De ce fait, ils isolent systématiquement l’inconnue dès le départ, en écrivant une soustraction.

Ah, j’ai vraiment trouvé cette heure passionnante ! Je suis sûre que je pourrais creuser encore d’ailleurs.

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12 réflexions au sujet de « Une analyse du pile up »

  1. Grand succès en classe de 4ème ce matin. Mes élèves n’ont pas du tout été gênés par l’absence de lettres. Ils ont travaillé seul ou à plusieurs et j’entendais « ah mais non, c’est un nombre décimal ! Mais oui, on ne cherche pas l’hypoténuse, il faut donc soustraire » ou « mais non, ça marche pas, l’hypoténuse n’a pas la plus grande longueur ». Yes !
    Il y a un petit passage complexe pour certains pour G et J.
    J’ai rajouté en haut du tableau de gauche d’arrondir les réponses au dixième car certains avaient travaillé sans avoir besoin de mon aide et avaient gardé la valeur exacte avec la racine carrée.
    C’était super, j’ai adoré cette séance. Merci beaucoup.

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    1. Ah noooon, pas du tout ! Ils ont produit la trace écrite qu’ils voulaient, cela va donc de calculs sommaires pour s’y retrouver à une vraie belle rédaction. Et tous n’ont pas fini, car ils avancent à des rythmes très variables et avaient nettement moins d’une heure. Mais ils ont (presque) tous bien travaillé !

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  2. Bonjour,
    J’adore cet exercice, plein de couleurs et de calculs. Les réfractaires à la rédaction vont être ravis.
    Un détail, il y a un problème le schéma de l’empilement de droite, en effet pour les triangles A et B, on a l’impression que les segments de 10 et 21 sont portés par une même droite mais (sauf erreur de ma part), les points ne sont pas alignés, sinon le triangle C n’est pas rectangle.
    Une chose est sûre, vivement que j’arrive à Pythagore pour faire ces empilements.
    Merci pour ce travail qui plaira forcément à mes élèves.
    Anne

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    1. Le dessin est u schéma d’étude et il faut bien insister là-dessus en effet. Rien n’empêche ensuite de faire réaliser la figure pour la comparer avec le schéma, d’ailleurs; Ce serait intéressant !

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  3. Super idée, j’accroche vraiment. Par contre dans le modèle de gauche (le plus simple), tu dis qu’on doit trouver que des nombres entiers. Or des le premier triangle du bas la partie manquante n’est elle pas égale à racine de 292 – 4 (soit 13,088..). Tu leur dis d’arrondir à l’entier ?
    Merci pour ta réponse à venir et tes idées.

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