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Alors, elle en est où cette hypothèse de Riemann ?

Lundi, Sir Michael Atiyah, détenteur de la médaille Fields en 1966 et du prix Abel en 2004, avait promis d’animer une conférence qui présenterait une démonstration de l’hypothèse de Riemann, vieille de 160 ans et identifiée comme l’un des sept problèmes du millénaire par l’Institut Clay. À la clef, en plus d’une grande fierté, un million de dollars. Son annonce a fait grand bruit jusqu’à lundi, mais depuis, beaucoup moins : la communauté des mathématiciens n’est pas convaincue. Or la démonstration proposée par Sir Atiyah doit être évaluée par les pairs puis être publiée dans une revue scientifique avant de pouvoir réclamer sa récompense à l’Institut Clay.

Parlons d’abord cette « hypothèse ». Voici comment la décrit Cédric Villani :

« En caricaturant, on cherche à dire plus et mieux sur la façon dont les nombres premiers (ceux qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et par 1), sont répartis parmi les nombres entiers. Il ne s’agit pas de savoir où sont ces nombres mais de démontrer qu’ils se répartissent avec une certaine distribution. On sait depuis l’Antiquité qu’il y a une infinité de nombres premiers ; on sait depuis deux cents ans à quel rythme ils se raréfient parmi les grands nombres… On aimerait savoir encore plus. Or Bernhard Riemann, au XIXe siècle, a montré que l’on peut atteindre l’objectif en prouvant que toutes les solutions non entières de l’équation Zêta(s) = 0 (ici s est l’inconnue, c’est un point du plan ; et Zêta est ce que l’on appelle fonction de Riemann) sont des points alignés. À l’époque, il semblait que l’on pourrait résoudre cette question assez simplement. La suite a prouvé qu’il n’en était rien. »

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L’hypothèse de Riemann a été vérifiée numériquement sur un très très grand nombre de valeurs : les 10 000 milliards de premières solutions sont alignées ! Cédric Villani ajoute : « Mais cette vérification, pour un mathématicien, n’est pas suffisante. On souhaite vaincre l’hypothèse par le raisonnement, apporter la preuve ultime avec une démonstration. (…) On touche aussi à l’une des vraies spécificités de notre discipline : dans tout champ de connaissance humaine, une théorie vérifiée sur des milliers de milliards d’exemples et jamais mise en défaut est évidemment considérée comme « vraie »… sauf en mathématique ! »

Je vais parler de ça à mes élèves, tiens. Histoire qu’ils suivent un peu l’actualité mathématique et que nous parlions de la preuve.

Lundi donc, sir Atiyah n’a pas convaincu. Bien qu’il soit reconnu en tant que mathématicien, et récompensé comme tel, il a déjà annoncé deux fois ces dernières années avoir fait des découvertes majeures qui n’ont pas été reconnues par la communauté scientifique, ni publiées. Sa tentative de démonstration de lundi est une démonstration par l’absurde, s’appuyant sur la fonction de Todd, notée T, une fonction mathématique dont il est lui-même l’auteur et sur laquelle il n’a révélé que très peu d’informations. Du coup, sa présentation a laissé tout le monde au mieux sur sa faim.

 

La communauté mathématique reste globalement prudemment et respectueusement silencieuse, même si quelques vertes critiques ont tout de même été entendues. Sir Attiyah, qui s’attendait à « être jeté aux lions », avait déclaré : « Les gens vont se plaindre et grincer des dents, mais c’est parce qu’ils rechignent à l’idée qu’un vieil homme puisse avoir apporté une toute nouvelle méthode ».

C’est tristounet, tout ça.

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Le site de G Villemin

 

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