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2 018, déficience et extravagance

Sur Maths93, vous pourrez lire des propriétés du nombre 2018. En particulier, 2018 est un nombre déficient et un nombre extravagant. Si on interprète cela en se disant que 2 018 va présenter des insuffisances et être surprenante par son caractère singulier, c’est somme toute ce que nous connaissons depuis un bout de temps. Mais mathématiquement, c’est autre chose encore.

Un nombre déficient est un nombre qui est supérieur à la somme de ses diviseurs propres, c’est à dire ses diviseurs autre que lui-même. Or 2018 admet fort peu de diviseurs pour un nombre de cet ordre de grandeur : il en admet 4, qui sont : 1, 2, 1 009 et 2 018. Ses diviseurs propres sont donc 1, 2 et 1009. Comme 1 + 2 + 1 009=1 012, et que 2 018 est supérieur à 1 012, il est déficient.

Un nombre extravagant est un entier naturel qui a moins de chiffres que dans sa factorisation en nombres premiers (exposants différents de 1 compris). Or 2 018 a pour décomposition en facteurs premiers 2×1 009, qui comporte cinq chiffres alors que 2 018 n’en comporte que quatre. Paf, le nombre 2 018 est extravagant.

Pour mieux comprendre, 125, qui s’écrit 5^3, n’est pas extravagant (il est frugal). Mais comme ses diviseurs propres sont 1, 5, et 25, il est déficient. Le pauvre, déficient et frugal, ce n’est pas de chance.

Et 12, dont les diviseurs propres sont 1, 2, 3, 4 et 6 (la somme de ces diviseurs vaut 16) n’est pas déficient. Comme 12=2^2×3, il est extravagant.

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