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lego, agrandissements et réductions

Avec mes élèves de sixième nous avons travaillé, en décembre, sur le thème des échelles. C’est vraiment difficile, pour les élèves : la notion de proportionnalité appliquée aux mesures, avec ce que cela implique de conversions, de multiplications et de divisions par 10, 100, etc., qui renvoie à la construction du nombre décimal, le tout agrémenté d’un soupçon de fraction pour la notation 1/100 000, et puis un chouillat de constructions… C’est un bon appui pour proposer des tâches complexes.

Mais mes petits élèves ont plutôt bien compris l’idée. Ce qui coince c’est la façon de représenter l’échelle : avec un segment dans un coin du dessin, qui indique la mesure réelle correspondante, pas de souci. Là où ça coince, c’est dans la manipulation de la notation en fraction. Nous la retravaillons régulièrement et nous y reviendrons. Mais utiliser Google Map et leur faire comprendre le lien entre le zoom et l’échelle m’a permis d’intéresser les élèves et de leur faire comprendre comment fonctionne un outil qu’ils utilisaient sans réfléchir.

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Un élève a eu une remarque intéressante, après avoir représenté un rectangle « à l’échelle ». Il a dit « c’est bizarre dans le fond, mon rectangle bon d’accord il est à l’échelle un tiers, mais pourtant il n’est pas vraiment trois fois plus petit… Enfin si, dans un sens, mais si je le découpe il n’y a pas trois fois le petit dans le grand ». Ben oui. Voilà qui a bien embêté toute la classe : ça veut dire quoi « trois fois plus grand » ou « trois fois plus petit » ? Ca veut dire que les longueurs sont trois fois plus grandes ou plus petites, c’est marqué dans la leçon, ok. Mais n’est-ce pas un peu bizarre que les aires ne suivent pas ?

J’avais une chouette activité en quatrième, avec des tasses, pour illustrer les questions d’agrandissements-réductions. J’ai eu envie de répondre à leur question, mais j’ai hésité sur la démarche, sur la nature de l’activité que je leur proposerai. Alors avant de me lancer j’ai consulté les nouveaux programmes. J’y ai lu :

  • Les notions de grandeur et de mesure de la grandeur se construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes faisant appel à diérents types de tâches (comparer, estimer, mesurer).
  • Dans le cadre des grandeurs, la proportionnalité sera mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans diérents contextes.
  • Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle
  • Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spéciques de ces grandeurs.
  • Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux
  • Comparer ou mesurer des contenances (ou volumes intérieurs d’un récipient) sans avoir recours à la mesure ou en se rapportant à un dénombrement. Par exemple, trouver le nombre de cubes de 1 cm d’arête nécessaires pour remplir un pavé droit.
  • Adapter le choix de l’unité en fonction de l’objet (ordre de grandeur) ou en fonction de la précision souhaitée.
  • Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire des solides simples ou des assemblages de solides simples à sous forme de maquettes
  • Vocabulaire approprié pour nommer les solides
  • Agrandissement ou réduction d’une figure.

Bon ok, c’était parti, je pouvais transformer mon activité de quatrième pour mes sixièmes.

Mon objectif « global » était de faire percevoir puis comprendre que lorsqu’une figure est agrandie k fois, les aires sur multipliées par k x k et les volumes par k x k x k.

Mes objectifs « locaux » étaient multiples : réactiver le vocabulaire de la géométrie plane et spatiale, travailler sur les nombres (entiers, décimaux et un peu fractions), développer la proportionnalité (encore avec des fractions, des taux), réactiver les volumes par dénombrement, parler du choix de l’unité.

Le problème de départ est simple et classique : j’ai une petite tasse qui est deux fois moins haute et deux fois moins large (on compare les diamètres) qu’une grande tasse. Combien de fois vais-je devoir remplir la petite pour transvaser dans la grande jusqu’à ce qu’elle soit remplie.

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A cette question, les élèves répondent en général « deux fois », « quatre fois », ou bien « bin ça dépend des dimensions des tasses ».

Pour qu’ils s’approprient bien l’idée, je leur ai proposé, par groupe, une maquette réalisée en lego. Ils avaient pour mission de construire son agrandissement, avec un coefficient d’agrandissement de 2.

Ensuite, ils devaient comparer leurs méthodologies (beaucoup d’élèves pensent à doubler la largeur et la longueur, mais pas ce qu’ils appellent la profondeur ou la hauteur), puis à dénombrer les briques unitaires dans les deux modèles, pour comparer (ce qui a permis d’automatiser le procédé et de se diriger vers des méthodes de calcul d’aire et de volume).

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Nous avons terminé par un débat de classe, pour faire émerger que les aires avaient été multipliées par quatre et les volumes par huit. Les élèves étaient vraiment étonnés, et j’ai bien aimé mettre en lumière qu’une représentation intuitive était fausse.

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Enfin, nous avons résolu notre problème de tasse : si tout cela est vrai, je dois pouvoir transvaser ma petite tasse huit fois dans la grande… Les élèves n’étaient pas absolument sûrs, et quelques-uns m’ont expliqué que même si ils avaient compris pourquoi ce « devait être comme ça en principe », la vraie vie ne suivait pas forcément les principes mathématiques. Alors nous avons transvasé, puisque j’avais amené de l’eau. Et ça a tenu pile poil.

J’adore cette activité : les élèves ont les yeux tout ronds et comprennent quelque chose qu’ils ignoraient. En plus on manipule, on fait des legos, ils bossent en commun et on résoud un problème en prévoyant le résultat. Et ils ont bien travaillé, et réussi à généraliser le problème, même avec un autre coefficient que 2.

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